La paradoja de Monty Hall
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Por qué dos puertas cerradas no significan dos probabilidades iguales
En septiembre de 1990, Craig F. Whitaker envió una pregunta a la columna Ask Marilyn, publicada en la revista Parade:
Un concursante elige una de tres puertas. Detrás de una hay un automóvil; detrás de las otras dos, cabras. El presentador, que sabe dónde está el premio, abre una puerta no elegida y muestra una cabra. Después ofrece al concursante cambiar su elección por la única puerta cerrada restante.
¿Conviene cambiar?
Marilyn vos Savant respondió que sí. Conservar la primera puerta permitía ganar con probabilidad de (1/3); cambiar elevaba esa probabilidad a (2/3).
La respuesta provocó miles de objeciones. El argumento dominante parecía impecable: después de abrir una puerta quedan dos, así que cada una debe tener una probabilidad de (1/2).
Pero contar puertas no basta para calcular probabilidades.
Una de las puertas finales fue elegida sin información. La otra permaneció cerrada después de que alguien que conocía el resultado eliminara deliberadamente una opción perdedora. Parecen equivalentes porque ambas están cerradas; probabilísticamente, llegaron hasta ahí por caminos distintos.
La paradoja de Monty Hall no es una contradicción lógica. Es un resultado correcto que choca con una intuición muy persistente:
Las probabilidades no dependen únicamente de las opciones que vemos, sino también del procedimiento que decidió cuáles llegaríamos a ver.
El problema no comienza cuando se abre una puerta
La versión matemática de Monty Hall necesita reglas precisas:
El automóvil se coloca al azar detrás de una de tres puertas.
El concursante elige una puerta sin conocer su contenido.
El presentador sabe dónde está el automóvil.
Nunca abre la puerta elegida por el concursante.
Nunca abre la puerta que contiene el automóvil.
Siempre abre una puerta con cabra.
Siempre ofrece la posibilidad de cambiar.
Estas condiciones no son adornos del relato, constituyen el modelo.
Si el presentador desconociera dónde está el premio, si pudiera abrirlo accidentalmente o si ofreciera cambiar solo en algunas ocasiones, estaríamos resolviendo otro problema.
La respuesta (2/3) no pertenece a cualquier escena con tres puertas. Pertenece a este protocolo. Richard Gill ha señalado precisamente que Monty Hall es, antes que un rompecabezas de cálculo, un problema de modelación: una solución matemática solo tiene sentido después de establecer qué juego se está analizando.
La primera elección divide el juego en (1/3) y (2/3)
Supongamos que eliges la puerta 1.
La probabilidad de que tu puerta contenga el automóvil es:
Las otras dos puertas, consideradas como un conjunto, concentran la probabilidad restante:
Monty abre una de esas dos puertas y muestra una cabra.
La intuición equivocada supone que esta acción reinicia el juego y distribuye nuevamente la probabilidad entre las dos puertas cerradas. Pero Monty no eligió una puerta libremente: utilizó su conocimiento para retirar una opción que sabía perdedora.
La puerta elegida al principio no recibió evidencia que aumentara su probabilidad. Continúa representando el caso en que acertaste sin información:
La única puerta cerrada restante representa el caso en que te equivocaste al principio:
La probabilidad no aparece ni se desplaza físicamente entre las puertas. Lo que cambia es nuestra información sobre un resultado que ya estaba fijado.
Cambiar convierte los errores iniciales en victorias
La explicación más directa consiste en preguntar qué ocurrió en la primera elección.
Elegiste el automóvil
Esto sucede con probabilidad:
Monty abre una de las dos puertas con cabra. Si cambias, pierdes.
Elegiste una cabra
Esto sucede con probabilidad:
Monty no puede abrir tu puerta ni la que contiene el automóvil. Está obligado a mostrar la otra cabra. La única puerta cerrada restante contiene el premio.
Si cambias, ganas; Por tanto:
Mientras que:
Cambiar no produce una segunda elección misteriosamente más precisa. La estrategia funciona porque transforma en victorias todas las primeras elecciones equivocadas, y esas ocurren dos de cada tres veces.
Los tres escenarios posibles
Supongamos que siempre eliges inicialmente la puerta 1.
Ubicación del automóvil | Puerta que puede abrir Monty | Resultado al cambiar |
Puerta 1 | Puerta 2 o 3 | Pierdes |
Puerta 2 | Puerta 3 | Ganas |
Puerta 3 | Puerta 2 | Ganas |
Los tres lugares iniciales del automóvil son equiprobables.
Cambiar pierde en uno y gana en dos:
Conservar produce el resultado inverso:
Esta demostración no necesita saber cuál cabra prefiere abrir Monty cuando dispone de dos. Para la estrategia cambiar siempre, basta con que conozca el premio, revele siempre una cabra y ofrezca siempre el cambio.
La forma en que desempata entre dos puertas posibles sí importa cuando preguntamos por la probabilidad condicionada a que haya abierto una puerta específica. Son dos preguntas relacionadas, pero no idénticas.
Bayes reconstruye la decisión de Monty
El teorema de Bayes permite analizar qué información contiene una puerta concreta abierta por el presentador.
Supongamos que elegiste la puerta 1 y Monty abrió la puerta 3.
Definimos:
Para realizar este cálculo necesitamos añadir una regla: cuando el automóvil está detrás de la puerta 1 y Monty puede abrir cualquiera de las otras dos, elige entre ellas con la misma probabilidad.
Entonces:
Si el automóvil está detrás de la puerta 2, Monty está obligado a abrir la puerta 3:
Si está detrás de la puerta 3, no puede abrirla:
Aplicando Bayes:
Sustituimos:
La puerta 2 resulta más probable porque Monty abriría necesariamente la puerta 3 cuando el automóvil estuviera en la 2, pero solo la abriría en la mitad de los casos en que el automóvil estuviera en la puerta elegida.
La observación no tiene el mismo grado de compatibilidad con todos los escenarios posibles. Bayes no cuenta puertas: compara qué tan probable era observar la acción de Monty bajo cada ubicación del premio.
Una precisión indispensable
Si Monty siguiera otra regla para decidir qué cabra mostrar cuando dispone de dos,
Eso no elimina la ventaja general de cambiar siempre. El (2/3) global proviene de que cambiar gana exactamente cuando la elección inicial fue incorrecta. Lo que puede variar es la interpretación de una puerta específica abierta por un presentador con preferencias conocidas.
Cien puertas hacen visible lo que tres consiguen ocultar
Imaginemos cien puertas.
Detrás de una hay un automóvil y detrás de las otras noventa y nueve hay cabras. Eliges una puerta.
Monty conoce la ubicación del premio y abre noventa y ocho puertas con cabras. Solo permanecen cerradas tu puerta y otra.
Tu elección inicial no se vuelve cincuenta veces más fiable porque Monty haya realizado una eliminación informada. Continúa siendo la puerta seleccionada al azar entre cien posibilidades.
La versión de cien puertas no cambia la lógica. Solo aumenta el contraste hasta impedir que el (1/2) se esconda detrás de la apariencia simétrica de dos puertas.
La paradoja existía antes de Marilyn y antes de Monty
La estructura matemática del problema es anterior a su versión televisiva.
En 1959, Martin Gardner publicó en Scientific American el problema de los tres prisioneros. Uno sería indultado y dos serían ejecutados. Un guardia que conocía la decisión revelaba el nombre de uno de los condenados.
El prisionero que recibía la información podía pensar que, al quedar dos candidatos aparentes, su probabilidad de salvarse había aumentado a (1/2). Sin embargo, la respuesta del guardia estaba restringida: no podía nombrar al indultado. La información dependía del procedimiento utilizado para producirla.
En febrero de 1975, el bioestadístico Steve Selvin publicó en The American Statistician la carta A Problem in Probability. Después de recibir objeciones, publicó una segunda intervención, On the Monty Hall Problem, en la que aclaró los supuestos sobre el comportamiento del presentador y desarrolló la solución.
Marilyn vos Savant no inventó la paradoja. Su columna de 1990 la convirtió en una controversia pública y mostró que incluso lectores con formación científica podían confundir la cantidad de opciones restantes con la probabilidad asignada a cada una.
El Monty Hall real no estaba obligado a jugar este juego
La paradoja toma su nombre de Let’s Make a Deal, pero el programa real no aplicaba necesariamente el protocolo matemático de manera fija.
Monty Hall podía controlar qué intercambios ofrecía, introducir dinero, modificar los incentivos y utilizar su conocimiento de los premios para construir tensión. En una entrevista publicada por The New York Times en 1991, reconoció que cambiar era ventajoso bajo las reglas abstractas del problema, pero explicó que el programa real permitía al presentador decidir cuándo y cómo formular una oferta.
Esta distinción fortalece el problema en lugar de debilitarlo.
En el modelo canónico, la oferta de cambiar ocurre siempre y no añade información adicional. En un concurso real, una oferta selectiva puede revelar algo sobre lo que el presentador sabe o intenta conseguir.
Antes de calcular habría que preguntar:
¿El presentador ofrece siempre el cambio?
¿Puede decidir no ofrecerlo?
¿Conoce la ubicación del premio?
¿Su objetivo es favorecer al concursante, perjudicarlo o aumentar el espectáculo?
¿Sigue una regla fija o adapta su conducta?
La probabilidad correcta depende del experimento realmente definido, no del nombre popular que le demos.
Por qué el (1/2) parece imposible de abandonar
La dificultad de Monty Hall no puede reducirse a “la gente no sabe matemáticas”.
Una revisión sistemática de investigaciones publicadas entre 2000 y 2018 encontró obstáculos en distintas etapas: interpretar las reglas, representar los escenarios, actualizar las probabilidades y convertir esa actualización en una decisión.
Equiprobabilidad automática
Al ver dos puertas cerradas, tendemos a repartir la probabilidad en dos partes iguales.
El cerebro cuenta resultados visibles, pero pasa por alto que fueron seleccionados mediante procesos distintos.
Apego a la elección inicial
La primera puerta deja de sentirse como una opción aleatoria y se convierte en “mi puerta”. Conservar parece no hacer nada; cambiar se vive como una intervención capaz de causar la pérdida.
Aversión al arrepentimiento
Perder después de cambiar puede sentirse peor que perder después de conservar. En el primer caso aparece una explicación inmediata: “tenía el automóvil y lo abandoné”.
La probabilidad evalúa resultados. La mente también anticipa la historia emocional que contará después.
Omisión del mecanismo
Una persona puede saber que Monty conoce la respuesta y, aun así, representar mentalmente su acción como una eliminación cualquiera.
El error se produce antes de aplicar una fórmula: se ha construido el modelo equivocado.
Cuándo cambiar deja de ofrecer una ventaja
La estrategia de cambiar gana con probabilidad (2/3) únicamente bajo el protocolo establecido.
Monty no conoce la ubicación del automóvil
Supongamos que elige al azar una de las dos puertas no seleccionadas y, por casualidad, muestra una cabra.
Monty podía haber revelado el automóvil. Condicionando a que abrió una puerta concreta y apareció una cabra, las dos puertas cerradas quedan con probabilidad de (1/2).
En esa variante, cambiar no ofrece ventaja.
Monty solo ofrece cambiar en algunas ocasiones
Si permite cambiar únicamente cuando la primera elección contiene el automóvil, aceptar la oferta conduce a perder.
Si ofrece cambiar únicamente cuando la primera elección es incorrecta, aceptar garantiza ganar.
La oferta puede contener información porque su aparición depende del estado oculto.
El automóvil no se distribuye uniformemente
Si algunas puertas son inicialmente más probables que otras, ya no podemos asignar (1/3) a cada una. La estrategia debe calcularse a partir de esas probabilidades previas y del protocolo de Monty.
El concursante no conoce las reglas
Aunque el presentador siga internamente el protocolo canónico, el concursante necesita saberlo o tener razones para asumirlo. Una estrategia óptima dentro de un modelo no es automáticamente racional cuando el jugador desconoce qué modelo gobierna el juego.
Del concurso televisivo a los datos seleccionados
La paradoja utiliza cabras y puertas, pero su estructura aparece en problemas estadísticos mucho más serios.
Datos faltantes
No es equivalente que un dato falte por azar a que haya sido ocultado, descartado o no registrado debido a su valor.
La ausencia puede contener información sobre el proceso que la produjo.
Auditoría de siniestros
Una aseguradora puede seleccionar para revisión los siniestros que presentan ciertas señales de riesgo.
Los casos auditados no forman una muestra aleatoria del total. Fueron elegidos mediante un mecanismo que ya utilizó información sobre ellos.
Calcular tasas a partir de esa muestra sin reconstruir el filtro sería semejante a analizar la puerta abierta por Monty fingiendo que fue escogida al azar.
Detección de fraude
Cuando un algoritmo separa operaciones sospechosas, modifica la composición de los datos que después revisará una persona.
Los casos observados han sobrevivido o sido capturados por un proceso de selección. Ignorar ese proceso puede distorsionar la evaluación del modelo.
Estudios médicos
La prevalencia de una condición entre pacientes enviados a una prueba depende de los criterios con los que fueron seleccionados. No puede trasladarse automáticamente a toda la población.
Monty Hall no demuestra por sí mismo ninguno de estos fenómenos. La conexión es estructural: para interpretar una observación debemos conocer también el mecanismo que decidió mostrarla.
Lo que la paradoja no demuestra
Monty Hall no prueba que siempre debamos abandonar una primera decisión.
Tampoco demuestra que cualquier información nueva modifique las probabilidades. Una observación es informativa cuando su aparición depende del estado que intentamos conocer.
El automóvil no cambia de lugar ni “transfiere” probabilidad. La probabilidad representa nuestra incertidumbre sobre una ubicación fija.
El (2/3) tampoco garantiza ganar una partida concreta. Describe la frecuencia esperada de victorias al repetir muchas veces el mismo juego bajo las mismas reglas.
Finalmente, la estrategia supone que el concursante prefiere el automóvil. Si valora más una cabra, la elección óptima cambia. La probabilidad organiza la incertidumbre; la teoría de decisión necesita además conocer qué resultado se considera valioso. La matemática puede orientar la apuesta, pero todavía necesita que alguien le explique sus gustos caprinos.
Lo que las puertas no muestran
Al final quedan dos puertas cerradas, pero no dos historias equivalentes.
Una fue elegida sin información. La otra permaneció cerrada después de que alguien que conocía el resultado eliminara cuidadosamente las alternativas que podía mostrar. Su diferencia no está en la madera, en el número ni en la apariencia. Está en el proceso que las dejó frente a nosotros.
Cada dato conserva una historia semejante. Una muestra fue seleccionada bajo ciertos criterios; una noticia llegó después de que otras fueran descartadas; una recomendación algorítmica apareció porque un sistema decidió qué merecía ser visible. Mirar únicamente el resultado final puede producir una simetría que nunca existió.
La paradoja de Monty Hall obliga a preguntar algo más incómodo que “¿debo cambiar de puerta?”:
¿Cuántas decisiones creemos tomar libremente cuando las opciones ya fueron filtradas por alguien que sabía más que nosotros?
Fuentes consultadas
Gardner, Martin. “Problems Involving Questions of Probability and Ambiguity”, Scientific American, 1959.
Selvin, Steve. “A Problem in Probability”, The American Statistician, vol. 29, núm. 1, 1975.
Selvin, Steve. “On the Monty Hall Problem”, The American Statistician, vol. 29, núm. 3, 1975.
Morgan, J. P.; Chaganty, N. R.; Dahiya, R. C.; y Doviak, M. J. “Let’s Make a Deal: The Player’s Dilemma”, The American Statistician, vol. 45, núm. 4, 1991, pp. 284–287.
Tierney, John. “Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer?”, The New York Times, 21 de julio de 1991.
https://www.nytimes.com/1991/07/21/us/behind-monty-hall-s-doors-puzzle-debate-and-answer.html
Gill, Richard D. “The Monty Hall Problem Is Not a Probability Puzzle (It’s a Challenge in Mathematical Modelling)”, Statistica Neerlandica, vol. 65, núm. 1, 2011, pp. 58–71.
Saenen, Lore; Heyvaert, Mieke; Van Dooren, Wim; Schaeken, Walter; y Onghena, Patrick. “Why Humans Fail in Solving the Monty Hall Dilemma: A Systematic Review”, Psychologica Belgica, vol. 58, núm. 1, 2018, pp. 128–158.
Alvarado, Rafael C. “What’s So Hard about the Monty Hall Problem?”, preprint, 2024.